Элина Авраамовна Быстрицкая родилась 4 апреля 1928 года в городе Киеве. Детство ее прошло на Украине. Во время Великой Отечественной войны обучалась на курсах медсестер и по окончании стала работать в госпитале. В 1944 году была зачислена в медицинский техникум, а в 1947 году получила диплом об его окончании.

В то же время Элина начала заниматься в кружке художественной самодеятельности. В 1947 году сдала экзамены в Нежинский пединститут, но уже в 1948 году перевелась на актерский факультет Института театрального искусства им. И. К. Карпенко-Карого в Киеве (на курс Л. А. Олейника).

В 1953 году Быстрицкая окончила институт и начала работать в Русском драматическом театре в Вильнюсе (1953-1956), а затем в Московском драматическом театре имени А.С. Пушкина (1956-1958). В 1958 году она вошла в труппу Малого театра и играла в спектакле «Веер леди Уиндермиер».

С 1950 года Быстрицкая начала сниматься в кино: «В мирные дни» (1950), «Неоконченная повесть» (1955), «Тихий Дон» (1958), «Добровольцы» (1958), «Все остается людям» (1963), «Дачники» (1966), «Волки и овцы» (1973), «Фома Гордеев» (1983), «Без вины виноватые» (1988), «Прощальные гастроли» (1992), «Горе от ума» (2002) и др.

Помимо актерской работы Элина Авраамовна с 1978 года занимается педагогической деятельностью - в Высшем театральном училище им. М.С. Щепкина и на кафедре актерского мастерства в ГИТИСе имени А. В. Луначарского.